我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到“建?！边@個(gè)詞，供應(yīng)鏈中會(huì)涉及到許多的模型應(yīng)用，比如預(yù)測(cè)，庫(kù)存之類，這些都可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)分析后告訴我們：

發(fā)生了什么？（庫(kù)存為什么這么多？）

將來(lái)會(huì)怎么樣？（庫(kù)存什么時(shí)候會(huì)降下去？）

我們?cè)撛趺崔k？（以后該如何合理下訂單？）

這些都是基本的供應(yīng)鏈模型。今天我來(lái)介紹線性回歸模型，它可以用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)，是預(yù)測(cè)性模型。我會(huì)用預(yù)測(cè)運(yùn)輸費(fèi)用的場(chǎng)景，為大家介紹這個(gè)模型。

一、啥是線性回歸模型？

線性回歸是高中時(shí)候?qū)W的，知識(shí)早就還給老師了，好在原理并不復(fù)雜。我能整明白，相信大家也可以，所以請(qǐng)堅(jiān)持看完本文。

線性回歸在供應(yīng)鏈中有許多的應(yīng)用場(chǎng)景，比如說(shuō)是預(yù)測(cè)運(yùn)輸費(fèi)用。假設(shè)一家跨境電商K公司打算開(kāi)拓一個(gè)新的海外市場(chǎng)，把貨物從中國(guó)運(yùn)到法國(guó)銷售，每次都是用拼柜LCL出口，想要了解海運(yùn)成本大概是多少。

由于是新的市場(chǎng)，K公司沒(méi)有運(yùn)費(fèi)的歷史數(shù)據(jù)供參考，好在K公司已在德國(guó)設(shè)立倉(cāng)庫(kù)運(yùn)營(yíng)了，所以有一些運(yùn)費(fèi)的數(shù)據(jù)。由于K公司的貨物都是體積大但是重量輕的貨物，需要根據(jù)貨物立方數(shù)算運(yùn)費(fèi)。

運(yùn)費(fèi)是從中國(guó)工廠提貨，到送至海外倉(cāng)庫(kù)的全部費(fèi)用，其中包括了內(nèi)陸卡車、海上集裝箱運(yùn)輸、碼頭操作和進(jìn)出口手續(xù)費(fèi)等。

法國(guó)距離德國(guó)很近，因此K公司可以使用現(xiàn)有的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)新市場(chǎng)的運(yùn)輸成本。此時(shí)，我們就可以使用線性回歸模型來(lái)預(yù)測(cè)運(yùn)費(fèi)了。

先來(lái)講講什么是回歸，它的全名是Regression towards the mean，也就是向平均數(shù)回歸。

這又是什么概念呢？如果我們把K公司現(xiàn)有的出口德國(guó)的50條海運(yùn)數(shù)據(jù)拿出來(lái)，橫軸是貨物的立方數(shù)，縱軸是對(duì)應(yīng)的運(yùn)輸費(fèi)用，用散點(diǎn)圖來(lái)表示出來(lái)，看到的就是下圖的效果。

看著這張圖，直覺(jué)告訴我們，似乎有一條直線，可以穿過(guò)所有的點(diǎn)?；貧w就是通過(guò)這堆點(diǎn)，來(lái)找一條盡可能地在所有點(diǎn)中間的線的過(guò)程。

這條紅色的直線就是我們要尋找的目標(biāo)，然后根據(jù)它來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)運(yùn)輸?shù)椒▏?guó)的運(yùn)費(fèi)。線性回歸就是根據(jù)已知，預(yù)測(cè)未知的模型。

我們看到實(shí)際發(fā)生的運(yùn)費(fèi)分布在紅線的上下，造成差異的原因可能是運(yùn)費(fèi)波動(dòng)，或是因?yàn)樨浳镙^重，也有其他的可能性，我們不必糾結(jié)細(xì)節(jié)，只需要關(guān)注這條紅線的整體趨勢(shì)，這樣就能更快捷地預(yù)測(cè)出未來(lái)的運(yùn)費(fèi)情況了。

散亂的點(diǎn)不能體現(xiàn)出趨勢(shì)，而回歸的線可以預(yù)測(cè)未來(lái)。回歸就是通過(guò)一堆看不出具體關(guān)系的點(diǎn)，來(lái)找一條盡量出現(xiàn)在所有點(diǎn)中間的線，進(jìn)而讓整體關(guān)系更加清晰可見(jiàn)，為我們提供洞察。

解釋過(guò)了回歸，再來(lái)說(shuō)一下線性，這個(gè)概念是初中時(shí)就學(xué)過(guò)的，就更加簡(jiǎn)單了，相信大家應(yīng)該還有印象。

舉個(gè)例子，出租車計(jì)費(fèi)由兩部分組成，首先是固定的起步價(jià)，比如16元，哪怕你打車只是去前面200米的地方買份早餐，司機(jī)也收你16元，這是最低收費(fèi)Minimum charge。其次是每公里車費(fèi)，比如每公里收費(fèi)2元，距離越遠(yuǎn)，收費(fèi)越高。出租車計(jì)費(fèi)的公式就是：車費(fèi)=2元×公里數(shù)+16元

這就是一個(gè)經(jīng)典的線性函數(shù)公式：Y=A×X+B

當(dāng)X為零時(shí)，Y的值是16，這就是最低收費(fèi)的起步價(jià)16元了。“線性”是那條直線，找到那條直線的過(guò)程就是“線性回歸”。

現(xiàn)在我們理解了，所謂線性回歸，就是在一堆散點(diǎn)中找出一條含有趨勢(shì)性的直線，然后根據(jù)這種趨勢(shì)預(yù)測(cè)未來(lái)情況。

二、如何使用線性回歸模型？

1.統(tǒng)計(jì)分析

搞清楚概念后，我們就要開(kāi)始找出運(yùn)輸費(fèi)用中的這條直線了。在K公司的案例中，現(xiàn)有的數(shù)據(jù)只有2組，分別是每票海運(yùn)的貨物立方數(shù)和每票貨物的運(yùn)費(fèi)，其中包括門(mén)到門(mén)的運(yùn)費(fèi)、港口操作費(fèi)和進(jìn)出口費(fèi)用等。

這兩組數(shù)值就是函數(shù)中的參數(shù)，我們要使用它們來(lái)找到直線，求解線性函數(shù)中的A和B的值。

A是一個(gè)系數(shù)，在它的影響下，運(yùn)費(fèi)會(huì)隨著貨量增加而上漲，這很容易理解，運(yùn)輸?shù)呢浟吭酱?，收費(fèi)就越高，成正比關(guān)系。

A在線性函數(shù)中的名字是斜率，意思是每增加一個(gè)單位的貨量，會(huì)增加多少的運(yùn)費(fèi)。

B也是一個(gè)系數(shù)，就像是前文中的出租車起步價(jià)一樣，運(yùn)費(fèi)里也有最低收費(fèi)，包括了海上和內(nèi)陸運(yùn)輸?shù)钠鸩絻r(jià)，另外還有進(jìn)出口和港口操作的固定收費(fèi)。

B在線性函數(shù)中的名字是截距，也就是當(dāng)X為零時(shí)Y的數(shù)值。在現(xiàn)實(shí)情況中，出貨量不可能為零，X一定是大于零的數(shù)。

貨物立方數(shù)叫做自變量，就是X。運(yùn)輸費(fèi)用是隨著貨量而變動(dòng)的，所以叫做因變量，也就是Y。

整個(gè)的公式就等于：海運(yùn)拼箱運(yùn)輸費(fèi)用=A×貨物立方數(shù)+B

只要求出了A和B這兩個(gè)系數(shù)的值，就可以把任何的X值——貨物立方數(shù)代入公式，算出運(yùn)輸費(fèi)用了。

K公司運(yùn)輸?shù)膮R總統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表。

2.相關(guān)性分析

除了常規(guī)的統(tǒng)計(jì)外，我增加了一項(xiàng)，就是最后一行的相關(guān)性Correlation分析。運(yùn)輸費(fèi)用和貨量是兩個(gè)變量，它們之間可能存在著一定的相關(guān)性。

根據(jù)我們的常識(shí)，運(yùn)輸?shù)呢浟吭酱螅\(yùn)費(fèi)也就越高，它們之間應(yīng)該是正相關(guān)性，也就是運(yùn)費(fèi)隨著貨量的增加而增加。為了證明這點(diǎn)，我們需要使用相關(guān)性分析來(lái)驗(yàn)證一下。

在Excel中，使用公式=CORREL(數(shù)組，數(shù)組)就可以求得解。相關(guān)性的結(jié)果是在-1和+1之間。

當(dāng)相關(guān)性為-1時(shí)，數(shù)組之間是負(fù)相關(guān)，X的值越高，Y的值越低。比方說(shuō)天氣越熱，羽絨服越是賣不出去。

當(dāng)相關(guān)性為0時(shí)，數(shù)組之間沒(méi)半毛錢(qián)關(guān)系。就像是誰(shuí)是中國(guó)首富和我沒(méi)一丁點(diǎn)兒關(guān)系，因?yàn)槲页刹涣酥袊?guó)首富，你們愛(ài)誰(shuí)誰(shuí)。

當(dāng)相關(guān)性為+1，數(shù)組就是正相關(guān)性，也就是我們運(yùn)費(fèi)案例中的情況了。

CORREL(海運(yùn)拼箱運(yùn)輸費(fèi)用，海運(yùn)拼箱運(yùn)輸費(fèi)用)為1，因?yàn)槭峭粋€(gè)數(shù)組之間分析，結(jié)果自然是1。

CORREL(海運(yùn)拼箱運(yùn)輸費(fèi)用，貨物立方數(shù))是0.81，比較趨向于1了，這個(gè)結(jié)果告訴我們，兩組數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性很強(qiáng)，值得進(jìn)一步分析，來(lái)計(jì)算出A和B的值。

3.求解過(guò)程

求解過(guò)程略有點(diǎn)復(fù)雜，如果要解釋清楚，估計(jì)還要花上不少篇幅，所以我就先一筆帶過(guò)。強(qiáng)大的Excel可以幫我們很快地計(jì)算出結(jié)果，具體的方法是在“Data—Data analysis”中選擇“Regression”回歸即可。

如果還沒(méi)有安裝Data analysis模塊的朋友，可以在網(wǎng)上搜索一下安裝的方法，在此就不做介紹了。如果無(wú)法安裝，可能是Excel版本的問(wèn)題，需要進(jìn)行升級(jí)。

求解過(guò)程很簡(jiǎn)單，如上圖所示，只需要在“Input Y Range”中，把Y值的數(shù)組，也就是運(yùn)輸費(fèi)用選中，然后在“Input X Range”中，把X值的貨物立方數(shù)選中，點(diǎn)擊“OK”就可以迅速地算出結(jié)果。

4.評(píng)估模型

在Excel的幫助下，我們可以很輕松地獲得模型，但最重要的工作隨之而來(lái)，就是要評(píng)估和驗(yàn)證模型。我們想要確保這個(gè)模型是合理的，而且在統(tǒng)計(jì)學(xué)上是有效的。

根據(jù)K公司的50組數(shù)據(jù)，可以得出這樣的結(jié)果，里面的信息量較多，由于篇幅有限，本文只解釋其中最重要的幾個(gè)輸出Output。

(1) 模型的擬合程度

首先，我們要評(píng)估模型的擬合程度，它是回歸直線與實(shí)際情況的匹配度，也被稱為決定系數(shù)。在輸出結(jié)果中，我們重點(diǎn)要關(guān)注“調(diào)整的R平方（Adjusted R Square）”的值。

R平方可以理解為模型能夠解釋實(shí)際情況的百分比。由于要去除自變量個(gè)數(shù)對(duì)R平方的影響，所以叫做調(diào)整的R平方，這個(gè)數(shù)值在0到1之間，數(shù)值越大，說(shuō)明模型的擬合程度越好，越是能夠說(shuō)明問(wèn)題；如果數(shù)值為零，這個(gè)模型啥也不是。

在上圖中，調(diào)整的R平方是65%，說(shuō)明擬合程度還不錯(cuò)，可以解釋65%發(fā)生的情況，值得我們進(jìn)一步分析下去。

(2)A、B系數(shù)

看過(guò)了整體的擬合程度后，我們要看看單個(gè)的系數(shù)情況怎么樣。在本案例中只有兩個(gè)系數(shù)，是很簡(jiǎn)單的場(chǎng)景，但在現(xiàn)實(shí)情況中肯定會(huì)大于這個(gè)數(shù)量。

還是以出租車為例，計(jì)費(fèi)中有一項(xiàng)是時(shí)長(zhǎng)費(fèi)，這是根據(jù)行駛時(shí)間收費(fèi)的項(xiàng)目，另外還可能有額外的司機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)費(fèi)，比如在春節(jié)期間每單要加6元。

為了便于說(shuō)明，在這里我使用最少的變量進(jìn)行分析。根據(jù)求解結(jié)果，我們可以把A和B的值代入公式：

海運(yùn)拼箱運(yùn)輸費(fèi)用=

156.41×貨物立方數(shù)+664.52

假設(shè)貨物立方數(shù)為零時(shí)（實(shí)際上不可能），運(yùn)費(fèi)是664.52，這就是截距。當(dāng)貨物是4個(gè)立方，運(yùn)費(fèi)就是1290.18。就這樣，我們找到了那條直線，只要輸入3至15之間的任何一個(gè)數(shù)，就能夠得出運(yùn)費(fèi)。

(3) 驗(yàn)證系數(shù)

我們還需要對(duì)系數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，看看它們是否有效且合理，這里主要是看P值，它是用來(lái)判定假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)參數(shù)，P值越小，比如小于0.01，說(shuō)明系數(shù)越是不可能為零。

系數(shù)如果是零，說(shuō)明該系數(shù)是無(wú)意義的。截距的P值是0.000093，已經(jīng)足夠小了，說(shuō)明這個(gè)系數(shù)是可用的，而斜率的P值更小，那就更好了。

(4) 上下限的值

最后是A、B系數(shù)上下限的值，這里使用的是模型默認(rèn)的95%的置信區(qū)間情況下的值。

貨物立方數(shù)系數(shù)的下限是123.32，上限是189.51，截距的下限是351.39，上限是977.66。在95%的置信區(qū)間里，系數(shù)的上下限就在這個(gè)范圍內(nèi)。

這里需要注意的是上下限值不能小于零，否則系數(shù)就沒(méi)意義了。如果系數(shù)A是負(fù)的，那意味著運(yùn)輸?shù)呢浟吭礁?，運(yùn)費(fèi)反而更低，這是不合理，也是不可能的。因?yàn)閮蓚€(gè)系數(shù)的P值都是小于0.01，所以也不會(huì)出現(xiàn)上述的情況。

至此，我把這個(gè)簡(jiǎn)單的線性回歸模型介紹完畢，本來(lái)想著盡量簡(jiǎn)化內(nèi)容，但實(shí)際看來(lái)，里面包含的知識(shí)點(diǎn)是很多的，一篇短文恐怕難以講清楚所有的內(nèi)容。若有解釋不清楚的地方，還請(qǐng)多見(jiàn)諒。

三、建模時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)

從模型構(gòu)建和使用的角度，我們需要重點(diǎn)關(guān)注這幾個(gè)方面。

1.選擇模型的自變量

在建模之前，我們可能會(huì)有多個(gè)自變量X，此時(shí)就要想一想，該使用哪些？

我在本文中用了一個(gè)最簡(jiǎn)單的場(chǎng)景，所以只有1個(gè)自變量。在實(shí)際情況中我們會(huì)遇到多個(gè)自變量的情況，如果距離、重量等等，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷、選擇合適的自變量。

決定以后，我們要收集自變量的數(shù)據(jù)，但有些數(shù)據(jù)可能是缺失的，因此現(xiàn)實(shí)情況會(huì)更復(fù)雜一些，要做好心理準(zhǔn)備。選擇自變量是建模過(guò)程中最難的環(huán)節(jié)，需要我們對(duì)問(wèn)題有充分的認(rèn)知。

2.簡(jiǎn)單就是最好的

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在模型中盡量少用一些自變量，只要能解釋問(wèn)題就可以了，自變量越多，模型就越復(fù)雜。雖然調(diào)整的R平方會(huì)很高，卻是人為“調(diào)”出來(lái)的，距離現(xiàn)實(shí)情況反而更遠(yuǎn)了。模型最終要在現(xiàn)實(shí)中驗(yàn)證，過(guò)度擬合可能會(huì)偏離實(shí)際情況。

3.模型驗(yàn)證

由于Excel可以快速運(yùn)行分析，計(jì)算過(guò)程已成為最容易的一步。這導(dǎo)致我們可能想要盡快看到模型結(jié)果，忽視了前期思考和選擇的過(guò)程。

因此，驗(yàn)證模型就更加重要了。調(diào)整的R平方、P值和置信區(qū)間的上下限，這三個(gè)是最重要的點(diǎn)，我們需要用常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去判斷它們是否合理。

總結(jié)一下，線性回歸模型是供應(yīng)鏈經(jīng)常會(huì)使用的工具，聽(tīng)起來(lái)很高大上，但是原理并不復(fù)雜，使用Excel就能搭建模型。掌握基本的建模技能，可以幫助我們提高邏輯思考和數(shù)據(jù)分析能力，增加職場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。