編者按

本文對(duì)于單一工序、單一資源，單一工序、多資源，多工序、單一資源(較少)，多工序、多資源這四種常見的生產(chǎn)計(jì)劃類型進(jìn)行逐一分析，著重于計(jì)劃的優(yōu)化，而非硬性規(guī)則的確保。其中，針對(duì)多工序、多資源生產(chǎn)計(jì)劃類型具體描述了基于Optaplanner設(shè)計(jì)APS（進(jìn)階生產(chǎn)規(guī)劃及排程系統(tǒng)）排產(chǎn)引擎時(shí)遇到的棘手問題，包括：計(jì)劃類型的識(shí)別，由任務(wù)組成的工序鏈與機(jī)臺(tái)鏈，任務(wù)與機(jī)臺(tái)之間的匹配，工序鏈與機(jī)鏈之間的存在膠著可能性，以及循環(huán)識(shí)別與處理的問題。

一  單一工序，單一資源種類

對(duì)單一工序、單一資源種類的情況，是最簡(jiǎn)單的一種排產(chǎn)場(chǎng)景。即一個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)過程只需使用同一種資源，進(jìn)行一次加工即完成了產(chǎn)品的整個(gè)生產(chǎn)過程。這種情況下，既然是單一工序，那也就沒有了工序的先后資源的限制；單一種類資源，即沒有了資源的選擇優(yōu)化。

這里提到的資源，是指需要完成一個(gè)生產(chǎn)作業(yè)（或稱任務(wù)，生產(chǎn)任務(wù)）所需的生產(chǎn)條件，例如機(jī)臺(tái)、原料等，即廣義資源。生產(chǎn)實(shí)踐中，這類計(jì)劃通常是對(duì)產(chǎn)品眾多工序路線中的一個(gè)較重要的工序進(jìn)行制定計(jì)劃時(shí)使用。需進(jìn)行優(yōu)化的主要目的是對(duì)資源的使用分配，比如各機(jī)之間實(shí)現(xiàn)負(fù)荷平衡等需求。

實(shí)現(xiàn)這類計(jì)劃時(shí)，需要通過設(shè)定機(jī)臺(tái)平衡的約束，讓引擎在為工序分配任務(wù)時(shí)，盡可能實(shí)現(xiàn)同一類機(jī)的負(fù)荷平衡。比如印刷生產(chǎn)中對(duì)排在最后的手工工序制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，需要根據(jù)各個(gè)產(chǎn)線的人力安排情況，按比例安排定額任務(wù)。

二  單一工序，多資源種類

對(duì)單一工序、多資源種類的情況，僅對(duì)產(chǎn)品一個(gè)工序進(jìn)行排產(chǎn)，僅可用于這個(gè)工序的資源是多種多樣的，并且各種資源之間可以互換。此類計(jì)劃主要為了實(shí)現(xiàn)資源的優(yōu)化分配，即按照一定原則對(duì)各個(gè)工序進(jìn)行資源安排。各種資源使用成本各不相同，在制定計(jì)劃時(shí)，為了降低生產(chǎn)成本，應(yīng)在確保其它更高優(yōu)先級(jí)的約束或硬性約束的前提下，盡量使用低成本的資源進(jìn)行生產(chǎn)。

例如，在印刷行業(yè)印刷印張的工序中，有些印張可以通過CMYK四色印制，也可通過調(diào)配特殊色通過專色印制，但前者成本相比后者更低，前后兩種印刷方式就表示兩種資源。在對(duì)印刷工序定制生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，就會(huì)優(yōu)先使用CMYK印刷，但并非絕對(duì)，如果CMYK資源已經(jīng)超出負(fù)荷，不動(dòng)用專色印刷就無法實(shí)現(xiàn)按時(shí)交貨時(shí)，還是會(huì)放棄成本這個(gè)約束，來遷就交期這個(gè)更高優(yōu)先級(jí)的約束。

三  多工序，單一資源種類

多個(gè)工序，單一種類資源的情況，則相對(duì)較少見。即計(jì)劃中需要制定整個(gè)產(chǎn)品工序路線中的所有工序資源和時(shí)間，其中資源要求只有一種可選?？梢岳斫?，這種情況對(duì)資源分配的要求較低，計(jì)劃著重于對(duì)工序的前后關(guān)系制約或工序自身其它因素的優(yōu)化。即在資源分配上，如第一種情況“單一資源、單一任務(wù)”一致，基于資源利用的一些原則進(jìn)行資源分配。而在安排工序的加工時(shí)間問題上，則需要根據(jù)產(chǎn)品的工序路線，實(shí)現(xiàn)對(duì)前后工序在時(shí)間上的次序關(guān)系，而這種次序又受到資源分配的限制。

例如：如果印刷的第二工序中（有些企業(yè)稱為印后加工），有過油、過膠、過UV三個(gè)工序，如果有一種機(jī)臺(tái)同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)這三種工序，那就滿足“多個(gè)工序、單一資源種類”的場(chǎng)景。這時(shí)關(guān)于工序的資源分配，會(huì)有相應(yīng)的資源使用約束。但更重要的約束是：一個(gè)產(chǎn)品多個(gè)工序的處理次序上，這個(gè)次序必然是根據(jù)產(chǎn)品的工序路線設(shè)定的資源來執(zhí)行的，否則就違反了硬性約束。

所以，綜合上述的資源分配和工序資源兩種要求，我們需要面對(duì)的是互相矛盾的問題：其一，對(duì)于同一個(gè)產(chǎn)品需要確保其執(zhí)行的工序與工序路線上設(shè)定的一致；其二，對(duì)于一個(gè)資源（例如機(jī)臺(tái)）上的生產(chǎn)效率而言，如何實(shí)現(xiàn)更多的同工序連接生產(chǎn)。

即使使用同一資源，通常在該資源上，不同工序的生產(chǎn)任務(wù)之間的切換會(huì)產(chǎn)生成本，可能是時(shí)間成本，也可能是具體的貨幣成本。所以，難點(diǎn)就在于如何平衡上述兩個(gè)問題，從而實(shí)現(xiàn)資源利用率最大化和工序資源不被違反。

四  多工序，多資源種類

多個(gè)工序，多資源種類的和產(chǎn)計(jì)劃，是目前最為常見，也最為復(fù)雜的生產(chǎn)計(jì)劃，是本文討論的重點(diǎn)。多工序與前一個(gè)問題一樣，是針對(duì)整個(gè)產(chǎn)品的工序路線進(jìn)行排產(chǎn)，而且生產(chǎn)各個(gè)工序所用的資源屬于不同種類。

這種情況面對(duì)兩個(gè)相對(duì)零散也有交互的矛盾：其一，對(duì)于一個(gè)產(chǎn)品而言，其多個(gè)工序是依據(jù)工序路線形成生產(chǎn)資源的；其二，多種資源表示各個(gè)生產(chǎn)工序所使用的資源有可能不一樣，也有可能不同。

因工序前后次序的限制原因，當(dāng)引擎對(duì)一個(gè)工序完成資源分配后，進(jìn)一步進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)間的分配。但因?yàn)橥划a(chǎn)品的工序執(zhí)行次序，需要按照工序路線的先后次序來執(zhí)行，也就是計(jì)劃中除了需要分配好的資源外，還要確保這個(gè)資源在指定的時(shí)間段內(nèi)，沒有被其它產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)占用。那么當(dāng)同時(shí)對(duì)多個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行排產(chǎn)時(shí)，各個(gè)產(chǎn)品的工序路線形成的工序生產(chǎn)序列和資源分配方案，很容易就形成膠著狀態(tài)，甚至在多個(gè)資源之間出現(xiàn)死鎖狀態(tài)。

下面，我們以多個(gè)不同種類的機(jī)臺(tái)，處理工序路線上多個(gè)工序的案例，來計(jì)劃“多工序、多資源種類”的情況，并分析需要實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃，所需的技巧、技術(shù)難點(diǎn)和可能出現(xiàn)的情況，及其應(yīng)對(duì)方法。

1、多工序與多機(jī)臺(tái)的場(chǎng)景描述

規(guī)劃過程中用到的概念。為了便于描述規(guī)劃過程中的各種情況，現(xiàn)先定義以下概念：

(1) 任務(wù)或生產(chǎn)任務(wù)：一個(gè)產(chǎn)品的一個(gè)工序的生產(chǎn)作業(yè)稱作一個(gè)任務(wù)，例如印刷后加工有：過膠 -> 燙金 -> 絲印，則表示這個(gè)產(chǎn)品的后加工中有三個(gè)任務(wù)，分別是過膠任務(wù)， 燙金任務(wù)和絲印任務(wù)。

(2) 工序路線任務(wù)鏈：一個(gè)產(chǎn)品中的不同工序?qū)?yīng)的生產(chǎn)作業(yè)，其次序是由其工序路線確定的，一個(gè)產(chǎn)品的所有生產(chǎn)作業(yè)序列，即任務(wù)序列，稱為工序路線任務(wù)鏈。

(3) 機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈：多個(gè)任務(wù)被分配在一個(gè)機(jī)臺(tái)上時(shí)，同一時(shí)間只能處理一個(gè)產(chǎn)品，即同一時(shí)間只能進(jìn)行一個(gè)任務(wù)，這些同在一機(jī)臺(tái)上形成的任務(wù)序列，稱為機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈接。

(4) 前置任務(wù)，后置任務(wù)：同一產(chǎn)品上多個(gè)任務(wù)，根據(jù)工序路線的規(guī)定形成與工序次序一次的生產(chǎn)任務(wù)次序（即工序路線任務(wù)鏈）。在鏈中兩個(gè)相鄰的任務(wù)，前者稱作后者的前置任務(wù)；后者稱作前者的后置任務(wù)。

(5) 前一任務(wù)，后一任務(wù)：分布于同一機(jī)臺(tái)上的多個(gè)工序任務(wù)（即機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈），在機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈中相個(gè)相鄰的任務(wù)；前者稱為后者的前一任務(wù)，后者稱作前者的前一任務(wù)。

2、多工序、多機(jī)臺(tái)排程里的限制

下面我們來針對(duì)實(shí)用性最強(qiáng)，制造業(yè)面對(duì)最多的場(chǎng)景 ：多工序、多臺(tái)機(jī)臺(tái)場(chǎng)景展開討論。處理這類生產(chǎn)計(jì)劃，以下兩個(gè)因素最為麻煩。

(1) 多任務(wù)與多機(jī)臺(tái)的匹配

在待排的計(jì)劃要素中，任務(wù)與機(jī)臺(tái)的種類都存在多樣性，且可能存一種任務(wù)可分配到多種機(jī)臺(tái)，一種機(jī)臺(tái)可以做多種任務(wù)的情況，因此，任務(wù)與機(jī)臺(tái)的匹配問題會(huì)相對(duì)其它三種生產(chǎn)計(jì)劃復(fù)雜一些，但往往這也是體現(xiàn)出Optaplanner價(jià)值的一個(gè)要點(diǎn)。

(2) 工序路線任務(wù)鏈與機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈之間存在互相制約關(guān)系

 一個(gè)產(chǎn)品的工序中先確定的任務(wù)序列，與分配于同一機(jī)臺(tái)上的任務(wù)序列，在加工次序上互相制約。加工次序體現(xiàn)在加工的時(shí)間先后，即一個(gè)產(chǎn)品的任務(wù)序列，必然按其工序路線，存在一定的先后次序。而單個(gè)產(chǎn)品被分配到各個(gè)機(jī)臺(tái)上進(jìn)行生產(chǎn)作業(yè)時(shí)，因生產(chǎn)路線上存在時(shí)間先后次序，會(huì)令到一個(gè)機(jī)臺(tái)上多個(gè)任務(wù)需要按次序生產(chǎn)的時(shí)候，每個(gè)任務(wù)的作業(yè)時(shí)間段可能并不緊密連接。

當(dāng)準(zhǔn)備在機(jī)臺(tái)上啟動(dòng)一個(gè)任務(wù)時(shí)，這個(gè)任務(wù)的前置工序可能尚未完成，從而令到該任務(wù)所在的機(jī)臺(tái)已就緒（其前一任務(wù)已完成，機(jī)臺(tái)已為該任務(wù)準(zhǔn)備就緒），但因?yàn)樗那爸霉ば蜻€沒完成，導(dǎo)致它無法開始，一旦開始就違反了工序路線約束，令該機(jī)臺(tái)上排在后面的其它后任務(wù)都要推遲，而這些任務(wù)被推遲，又可能導(dǎo)致它們自身的后置任務(wù)需要推遲，從而會(huì)出現(xiàn)機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈和工序路線任務(wù)鏈互相影響。這種情況稱為“連鎖反應(yīng)”，解決好這種連鎖反應(yīng)是解決排程的關(guān)鍵。

上述描述的連鎖反應(yīng)的情況出現(xiàn)，有可能出現(xiàn)環(huán)狀影響的情況。因?yàn)橐粋€(gè)正常的生產(chǎn)計(jì)劃存在時(shí)間與空間兩個(gè)主要維度，其中空間維度本文的場(chǎng)景就是機(jī)臺(tái)，表示一個(gè)任務(wù)被分配到了指定機(jī)臺(tái)。時(shí)間維度則體現(xiàn)為任務(wù)的開始和結(jié)束時(shí)間（事實(shí)上結(jié)束時(shí)間可以通過開始時(shí)間推導(dǎo)出來），即確定一個(gè)任務(wù)的計(jì)劃開始時(shí)刻。那么就需要有一個(gè)邏輯，對(duì)各個(gè)已分配空間（即機(jī)臺(tái)）的任務(wù)進(jìn)行時(shí)間推導(dǎo)。

任務(wù)的時(shí)間推導(dǎo)我們需要通過Optaplanner的afterEntityChanged事件來進(jìn)行（這個(gè)事件僅出現(xiàn)于Chained Through Time模式，以后將會(huì)有專門的文章講述Optaplanner的時(shí)間分配模式，其中Chained Through Time模式是重點(diǎn)），而推導(dǎo)的起源（就是從哪個(gè)任務(wù)開始推）通常以當(dāng)前Move（Optaplanner的最小作業(yè)單位）所處理的任務(wù)開始，這個(gè)任務(wù)稱為震動(dòng)源。

經(jīng)過它的工序路線任務(wù)鏈傳遞到機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈，再由機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈的影響回工序路線任務(wù)鏈，當(dāng)這種環(huán)狀的影響線路，經(jīng)過一系列連鎖反應(yīng)，正好返回來對(duì)震動(dòng)源進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)候，就相當(dāng)于又開始了與上一輪一樣的推導(dǎo)路線，便會(huì)無限推導(dǎo)下去，死循環(huán)就產(chǎn)生了。

我們需要準(zhǔn)確識(shí)別這種連鎖反應(yīng)會(huì)否產(chǎn)生死循環(huán)，并當(dāng)確實(shí)產(chǎn)生死循環(huán)時(shí)，就要將當(dāng)前的move標(biāo)識(shí)的不合法，在開啟時(shí)間推導(dǎo)之前，通過Optaplanner的Move Selection Filter將當(dāng)前的move取消，從而避免產(chǎn)生程序溢出，令系統(tǒng)崩潰。下面會(huì)舉實(shí)際的死循環(huán)例子說明這種情況。

下面我們先明確多任務(wù)多機(jī)臺(tái)生產(chǎn)計(jì)劃的基礎(chǔ)約束，再討論死循環(huán)的具體產(chǎn)生經(jīng)過。

3、計(jì)劃約束

每個(gè)工序只能分配到指定的機(jī)臺(tái)。

(1) 除產(chǎn)品的首個(gè)工序外，所有任務(wù)都有一個(gè)前置任務(wù)，它的開始條件是前置任務(wù)已結(jié)束，即同一產(chǎn)品的工序根據(jù)工序路線存在FS關(guān)系。

(2) 同一機(jī)臺(tái)同一時(shí)間只能處理同一任務(wù)。即分配到機(jī)臺(tái)上的工序生產(chǎn)任務(wù)，而生產(chǎn)時(shí)間不能重疊。

4、排程過程中產(chǎn)生的死循環(huán)

例如下圖：紅框的任務(wù)Task1, Task2, Task3表示了一個(gè)產(chǎn)品的工序路線上的3個(gè)工序?qū)?yīng)的任務(wù)，表示這三個(gè)任務(wù)形成了工序路線任務(wù)鏈，它們分別分布于machine1, machine2, machine3三個(gè)機(jī)臺(tái)。

根據(jù)工序路線任務(wù)鏈的次序約束，其生產(chǎn)次序是Task1 -> Task2 -> Task3。藍(lán)色背景的兩個(gè)任務(wù)則是另外一個(gè)產(chǎn)品的工序路線任務(wù)鏈，根據(jù)該產(chǎn)品的工序路線，它的生產(chǎn)門外漢是TaskA -> TaskB, 可以看到這兩個(gè)工序的次序跟紅框工序中的Task2, Task3的次序是倒過來的。而從機(jī)臺(tái)machine2的機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈上，可以看到，存在一個(gè)這樣的生產(chǎn)次序關(guān)系：Task B -> Task 2。

那么在Optaplanner通過一個(gè)Move來產(chǎn)生一個(gè)可能的方案，并對(duì)這個(gè)方案中各個(gè)任務(wù)的開始時(shí)間進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，就有可能組合出如圖中的狀態(tài)，從而出現(xiàn)死循環(huán)，因?yàn)橐粋€(gè)產(chǎn)品的工序需要按工序路線任務(wù)鏈的次序執(zhí)行，而一個(gè)機(jī)臺(tái)上生產(chǎn)機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈中的任務(wù)也是存在先后關(guān)系的，也即具有時(shí)序性，一個(gè)機(jī)臺(tái)在同一時(shí)間只能生產(chǎn)一個(gè)任務(wù)，也就有了一個(gè)機(jī)臺(tái)自身的生產(chǎn)任務(wù)也是一個(gè)次序鏈的。

從圖中可以看出，存在了這么一個(gè)環(huán)狀的生產(chǎn)任務(wù)次序：Task2 -> Task3 -> TaskA -> TaskB -> Task2，即當(dāng)Task1, Task2, Task3, TaskA, TaskB中任意一個(gè)任務(wù)的開始時(shí)間被推導(dǎo)時(shí)，它都將成為上述死循環(huán)描述中的震動(dòng)源，從而產(chǎn)生死循環(huán)。

5、實(shí)際多工序多機(jī)臺(tái)生產(chǎn)計(jì)劃中的約束

在實(shí)際生產(chǎn)制造場(chǎng)景中，除了上述討論的三個(gè)主要約束外，還會(huì)存在很多企業(yè)自身業(yè)務(wù)場(chǎng)景相關(guān)的限制因素，會(huì)更大程度上限制生產(chǎn)活動(dòng)的執(zhí)行。而此限制需要正確反映到生產(chǎn)計(jì)劃中，否則最終產(chǎn)生的計(jì)劃就無法執(zhí)行。本文只列出對(duì)生成計(jì)劃的正確性有影響、各計(jì)劃均會(huì)存在的共性因素，那些與各個(gè)行業(yè)、企業(yè)的業(yè)務(wù)相關(guān)的個(gè)性化因素，則不在本文考慮范圍內(nèi)。

例如：印刷行業(yè)中的印刷后加工工序，做完灑金粉工序，是需要等待一定時(shí)間，令金粉固化后，才能進(jìn)入下一工序的，那么也就是說這個(gè)工序與下一個(gè)工序之間存在一個(gè)最短時(shí)間間隔的限制，否則是會(huì)產(chǎn)生質(zhì)量事故的，因此是一個(gè)硬約束。

6、任務(wù)死循環(huán)的檢測(cè)

因?yàn)樯a(chǎn)計(jì)劃的復(fù)雜性，造成工序任務(wù)鏈與機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈之間存在異常復(fù)雜的制約，需要對(duì)Optaplanner產(chǎn)生的可能方案進(jìn)行合法性判斷，識(shí)別任務(wù)的開始時(shí)間推導(dǎo)過程中，是否存在死循環(huán)的可能，則需要非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治雠c正確的模型與算法設(shè)計(jì)?，F(xiàn)舉例說明此類項(xiàng)目中在這方面遇到的問題。

當(dāng)機(jī)臺(tái)任務(wù)鏈、工序路線任務(wù)鏈設(shè)計(jì)出來，并明確了模型中各實(shí)體的職責(zé)和關(guān)系后，如果發(fā)現(xiàn)了時(shí)間推導(dǎo)存在死循環(huán)的可能，就根據(jù)推導(dǎo)過程中可以出現(xiàn)的情況進(jìn)行死循環(huán)檢測(cè)，檢測(cè)過程相當(dāng)簡(jiǎn)單。

當(dāng)一個(gè)可能方案中任務(wù)的時(shí)空關(guān)系確定之后，所有任務(wù)便構(gòu)成了一個(gè)有向圖（directed graph），那么我們檢查這個(gè)有向圖是否存在環(huán)即可。可以嘗試使用隊(duì)列結(jié)構(gòu)對(duì)這個(gè)圖進(jìn)行廣度優(yōu)先遍歷，并識(shí)別環(huán)是否存在；也可以嘗試通過遞歸方式進(jìn)行深度優(yōu)先遍歷（遞歸使用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是棧，即從WinAPI32編程中學(xué)過的函數(shù)調(diào)用機(jī)制，調(diào)用路徑實(shí)質(zhì)就是一個(gè)棧)。

如果無論怎么嘗試，檢測(cè)結(jié)果就是無法完美、全面，可能原因是項(xiàng)目中需要考慮的因素更多，出現(xiàn)意想不到的可能性更大。此時(shí)解決辦法是：對(duì)Optaplanner在規(guī)劃過程中產(chǎn)生的每個(gè)可能方案，都進(jìn)行模型上的抽象與簡(jiǎn)化，去除一些不影響死循環(huán)判斷的因素，把它歸約成一個(gè)有向圖，并通過一些成熟的有向圖環(huán)檢測(cè)的算法對(duì)其進(jìn)行判斷。

有向圖的思路是：把之前根據(jù)復(fù)雜的業(yè)務(wù)規(guī)則，實(shí)現(xiàn)不同的邏輯進(jìn)行分支檢測(cè)的方法倒過來，將含有一些業(yè)務(wù)因素的有向圖歸約成數(shù)學(xué)算法能夠處理的規(guī)范的有向圖，再對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)。目前這個(gè)功能已經(jīng)相當(dāng)穩(wěn)定，一般不會(huì)出現(xiàn)意想不到的意外情況。關(guān)于有向圖的環(huán)檢測(cè)算法，網(wǎng)上有很多，這里不在本文深究。

7、通過Selection Filter對(duì)不合法方案進(jìn)行過濾

若只研究本文中提出的多任務(wù)多機(jī)臺(tái)生產(chǎn)任務(wù)的三個(gè)基本約束，上文提到的不合法方案就只剩下任務(wù)死循環(huán)方案了。現(xiàn)實(shí)項(xiàng)目開發(fā)中，一個(gè)方案不合法的定義會(huì)更多、更豐富，且更復(fù)雜。一旦通過各種手段檢測(cè)出一個(gè)方案是不合法的，可以通過Selection Filter，在Optaplanner對(duì)的VariableListener對(duì)象的afterEntityChanged事件處理方法之前，把move放棄掉。關(guān)于Selection FIlter的用法，可以從Optaplanner的開發(fā)手冊(cè)中查看，后面將會(huì)專門撰寫Selection Filter相關(guān)的文章對(duì)其進(jìn)行說明。

本文描述了基于Optaplanner設(shè)計(jì)APS排產(chǎn)引擎時(shí)，遇到比較棘手的問題，包括：計(jì)劃類型的識(shí)別，由任務(wù)組成的工序鏈與機(jī)臺(tái)鏈，任務(wù)與機(jī)臺(tái)之間的匹配，工序鏈與機(jī)鏈之間的存在膠著可能性，及循環(huán)識(shí)別與處理。

本人也是初始研究APS排程引擎，還在不斷探索中，有不正確的地方，還請(qǐng)多多指正。